ビリヤード

球の半径をａ、質量は一様で大きさＭとする。

球どうしの衝突は完全弾性衝突で、球の表面は滑らかとする。

１

球が静止しているときに、（ビリヤード台からの）高さｈの点を水平方向に突くとき、球の運動はどうなるか？

最初に、球の重心軸まわりの慣性モーメントIを求める。

質量Ｍは、単体積当たりの質量をρとすると、

　　（１．１）

と書ける。

ビリヤード台に対して、鉛直面内の水平方向成分をｘ軸に、法線方向をｚ軸にとったとき、

ｚ軸まわりのモーメントは

（１．２）

である。

また、対称性から

（１．３）

と表すことが出来る。

よって、（１．３）式を用いてやることにより（１．２）式は

　　　（１．４）

と書ける。途中で（１．１）式を代入した。

ここで、球の受ける力積をＪとし、キューで突いた直後の球の重心の速度をｖ、回転角速度をωとすると、

運動方程式は

　（１．５）

となる。したがって、ビリヤード台に対する球の接触点の速度は、（１．４）式を用いて、

　　（１．６）

である。

以上より以下のようなことが分かる。

（ａ１）ｈ＝ａのとき

(１．６)式より＝０である。接触点の速度が０ということは、急は滑っていない。

つまり球は滑らずに回転して進む。

（ｂ１）ｈ＞ａのとき

（１．６）式より、＜０　より球は滑る。ｖ＜ａωより、摩擦力Ｆが球の重心を加速する方向に働く。

また、それと同時に球の回転速度は、摩擦力によるモーメントにより減少する。

すると、＝０に近づき、滑りがなくなり、転がるようになる。

（ｃ１）ｈ＜ａのとき

（１．６）式より、＞０より球は滑る。ｖ＞ａωより、摩擦力Ｆが球の重心を減速させる方向に働く。

また、それと同時に球の回転速度は、摩擦力によるモーメントにより増大する。

すると、＝０に近づき、滑りがなくなり、転がるようになる。

Ｐ．Ｓ　滑った球が転がりだすのはいつか？そのときの速度はいくらか？

運動方程式は、動摩擦係数をとおくと

となる。これよりｖ、ａω　は

と表される。

よって、転がりだす、つまりｖ＝ａωとなるのは、の時である。

定常速度はである。

２

突かれた球が、静止した球に衝突する時、衝突後の球の運動はどうなるか？

突かれた球の重心速度を、回転角速度をとする。

速度の球が静止している球に衝突すると、重心速度が入れ替わる。

衝突した球はその瞬間に静止するが、回転角速度は保存される。

したがって、球の接触点の速度は、＝−ａと書ける。

（ａ２）＞０のとき

＞０となるのは、（ａ１）、（ｂ１）の時と、（ｃ１）でａ＜ｈ＜ａのとき。

つまり、あわせてａ＜ｈのときである。

このとき、摩擦力がと逆向きに働き、静止した球を前方に加速させる（押し球）。

（ｂ２）＜０のとき

＜０となるのは、（ｃ１）でａ＞ｈのとき。

つまり、ａ＞ｈのときである。

このとき、摩擦力は方向に働き、静止した球を前方に加速させる（引き球）。

（ａ２）、（ｂ２）の両方とも最終的には滑りのない転がる運動に落ち着く。

１、２をまとめると

突く位置が

０＜ｈ＜ａのとき

　　　球は突かれると、後方に回転しながら滑って進む。摩擦力により回転速度は減少する。

　　　その後、転がりだす前に静止している球に衝突すると、引き球となって、静止した球を前方に加速させる。

　ｈ＝ａのとき

　　　球は突かれると、回転せずに滑って進む。摩擦力により回転速度は増大する。

　　　その後、転がりだす前に静止している球に衝突すると、静止した球も無回転で進む。

しかし、無回転なのは一瞬だけ。すぐに摩擦力によって回転し始め、次と同じようになる。

ａ＜ｈ＜ａのとき

　　　球は突かれると、前方に回転しながら滑って進む。摩擦力により回転速度は増大する。

　　　その後、静止している球に衝突すると、押し球となって、静止した球を後方に加速させる。

　ａ＝ｈのとき

　　球は突かれると、滑らずに転がりながら進む。

その後、静止している球に衝突すると、押し球となって、静止した球を後方に加速させる。

　ａ＜ｈのとき

　　　球は突かれると、前方に回転しながら滑って進む。摩擦力により回転速度は減少する。

その後、静止している球に衝突すると、押し球となって、静止した球を後方に加速させる。

なんかどこかおかしい・・・。回転方向がごっちゃになってる。